ECUACIONES
PRIMER GRADO,
SEGUNDO GRADO, POLINÓMICAS Y SISTEMA DE ECUACIONES
1.
ECUACIÓN: DEFINICIÓN, PARTES O ELEMENTOS
Una ecuación
lineal o de primer grado es una igualdad que tiene números y letras. El
polinomio es de primer grado.
Toda ecuación tiene:
-
2 miembros, un primer miembro (a la
izquierda) y un segundo miembro (a la derecha).
-
Términos, en el primer y segundo miembro.
ELEMENTOS DE UN TÉRMINO
ALGEBRAICO
-
Un término algebraico está formado por
números y letras, relacionados con las operaciones de multiplicación, división,
potenciación y radicación.
Todo término algebraico tiene:
-
Un coeficiente (es un número con su
respectivo signo).
-
Una parte literal (que puede tener una o más
letras).
-
Un exponente
(El exponente es 1 que no se escribe)
2.
TEOREMAS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN:
Un teorema es
una proposición que no requiere ser demostrado.
a)
Si a ambos miembros de una igualdad se le suma una misma cantidad la igualdad
se mantiene.
Si: a = b ® a + c = b +
c " c Î R
b) Si en ambos miembros de una igualdad cancelamos una misma cantidad la igualdad se mantiene.
Si: a + c = b + c ® a = b " c Î R
c)
Si a ambos miembros de una igualdad lo multiplicamos por una misma cantidad la
igualdad se mantiene.
Si: a = b ® a.c = b.c " c Î R; c ≠ 0
d) Si en ambos miembros de
una igualdad cancelamos una misma cantidad la igualdad se mantiene.
Si: a.c = b.c ® a = b " c Î R; c ≠ 0
Los cuatro
teoremas que hemos mencionado no son los únicos para resolver una ecuación, es
necesario aplicar los axiomas de igualdad, los axiomas de adición y
multiplicación de los números reales y otros teoremas.
Son aquellas ecuaciones que presentan la siguiente forma: ax + b = 0
COMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON
UNA INCÓGNITA
1.- Se
suprimen los signos de agrupación o colección si es que hubiera, efectuando las
operaciones que se presenten.
2.- Se
efectúa de tal manera que la variable x quede con signo positivo, preferentemente
en el primer miembro. Aplicando las reglas
y/o axiomas.
3.- Las
constantes se pasan al miembro donde no está la variable, es decir, al segundo
miembro. Aplicando las reglas ya mencionadas.
4.-Se
reducen los términos semejantes y se opera las constantes para luego despejar
la incógnita o variable.
NOTA:
Para facilitar la resolución de una
ecuación se aplica la técnica de transposición de términos:
·
Si un término está sumando o restando en
uno de los miembros pasa al otro miembro con la operación contraria.
·
Si un número está multiplicando o
dividiendo a la variable en uno de los miembros pasa al otro miembro con la
operación contraria.
Ejemplo:
Resuelve
2x – 5 = x + 3
Solución:
El
objetivo es despejar la variable “x”, quedando ésta en el primer miembro.
- 5
pasa al segundo miembro con + 5 y “x” pasa al primer miembro con – x.
2x –
x = 3 + 5
En el
primer miembro reducimos términos semejantes, es decir, operamos los
coeficientes 2 – 1 = 1, nos queda 1x ó x. En el segundo miembro operamos 3 + 5
= 8.
x = 8
NOTA:
En el lenguaje matemático, cuando
decimos operamos, nos estamos refiriendo a aplicar una operación matemática:
adición (suma), sustracción (resta), multiplicación, potenciación o radicación.
Ejemplo:
Resuelve
6x + 2 = 2x – 5
Solución:
El
objetivo es despejar la variable “x”, quedando ésta en el primer miembro.
+ 2
pasa al segundo miembro con – 2 y 2x
pasa al primer miembro con – 2x.
6x – 2x
= – 5 – 2
En el
primer miembro reducimos términos semejantes, operamos los coeficientes del
primer y segundo término 6 – 2 = 4, nos queda 4x. En el segundo miembro
operamos – 5 – 2 = – 7.
4x = –
7
Para
que “x” quede despejando debemos eliminar el número 4 que le acompaña. Cómo 4
está multiplicando a “x” pasa al segundo miembro dividiendo.
x =
-7/4
Ejemplo:
Solución
Calculamos
el m.c.m. de los denominadores
m.c.m.(3;4;2)
= 12
Multiplicamos
a todos los términos de la ecuación por el m.c.m., en este caso 12.
Operando la multiplicación y división en cada
término, se tiene:
8x –
12 = 9x + 6
Los
términos con variable pasamos al primer miembro y las constantes lo enviamos al
segundo miembro
8x –
9x = 6+12
- x = 18
Multiplicamos a ambos miembros por (-1)
x = - 18
4. SISTEMA DE ECUACIONES
SISTEMA DE ECUACIONES DE
PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES
ax + by = c
....................Ecuación (1)
dx + ey = f
.....................Ecuación (2)
Un
sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables se resuelve por los
métodos: reducción, sustitución, igualación, Cramer, Gauss-Jordan etc.
A) MÉTODO DE REDUCCIÓN
Pasos a seguir:
1) Se suman o
restan las ecuaciones de modo que se elimine una de las variables.
2) Este
resultado obtenido se reemplaza en la ecuación (1) o (2) para calcular el valor
de la otra incógnita o variable.
Ejemplo:
Resuelve
el sistema:
2x –
3y = 13 …… (1)
x +
2y = - 4 …… (2)
Multiplicamos a
la ecuación (2) por (-2)
2x –
3y = 13 …… (1)
- x -
4y = 8 …… (2)
- 7y = 21
y = - 3
El valor de y =
- 3, reemplazamos en la ecuación (2)
x + 2y = - 4
x + 2(-3= - 4
x – 6 = - 4
x = - 4 +6
x = 2
Respuesta: x = 2
; y
= - 3
Ejemplo:
Resuelve el sistema:
3x + y = -3 …… (1)
5x – y = - 13 …… (2)
Respuesta:
x = - 2 ;
y = 3
B) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Pasos a seguir:
1) Se
despeja una de las variables en cualquiera de las ecuaciones.
2) El
resultado se reemplaza en la otra ecuación y se despeja la variable.
Ejemplo:
Despejamos la
variable “x” en la ecuación (2)
x = - 2y - 4
Este resultado
reemplazamos en la ecuación (1)
2x – 3y = 13
2(-2y -4) – 3y =
13
- 4y – 8 - 3y =
13
- 7y = 13 + 8
- 7y = 21
y = - 3
Reemplazamos el
valor de y = - 3 en (2)
x + 2y = - 4
x + 2(-3) = - 4
x – 6 = - 4
x = 2
Respuesta: x = 2 ; y
= - 3
Ejemplo:
Solución:
Multiplicar a
los términos de la ecuación (1) por el m.c.m.(4;5) = 20
Multiplicar a
los términos de la ecuación (2) por el m.c.m.(3;4) = 12
Se tiene:
15x – 4y = - 20 …… (1)
8x + 15y = 24 …… (2)
5. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Toda ecuación que se puede reducir a la forma
general:
ax2 + bx + c = 0 donde a ≠ 0
“x” es la incógnita
a.b y c son las constantes
Se llama ecuación de segundo grado o ecuación
cuadrática.
Para determinar el tipo de solución que tiene una ecuación de segundo
grado se calcula el discriminante Δ = b2 – 4 ac
Si Δ > 0 , la ecuación tiene dos raíces reales
diferentes.
Si Δ = 0 , la ecuación tiene dos raíces reales
iguales.
Si Δ < 0 , la ecuación tiene dos raíces complejas.
Es necesario determinar el discriminante de una
ecuación de segundo grado para determinar que tipo de raíces tiene, complejas o
reales.
RESOLUCIÓN
DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Para resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita existen
varios métodos. Toda ecuación de segundo grado con una incógnita tiene dos
soluciones o dos raíces.
Si calculamos el discriminante de la ecuación de segundo grado y el
resultado es 0 (cero) o es un número que tiene raíz cuadrada exacta, entonces,
se puede resolver por el método del aspa, en caso contrario no es posible
resolver por este método.
Para resolver una ecuación de segundo grado por el método del aspa, se
factoriza el polinomio aplicando el método del aspa simple. Luego, cada factor
se iguala a cero (0), seguidamente se despeja la variable. Los dos resultados
obtenidos son el conjunto solución o raíces de la ecuación.
Ejemplo: Resuelve:
3x2 – 5x – 12 = 0
B) LA FÓRMULA GENERAL O FÓRMULA CUADRÁTICA
Cuando una ecuación de
segundo grado no es posible resolver por el método del aspa, recurrimos a la fórmula
general o fórmula cuadrática. Es decir cuando se obtiene como discriminante un
número diferente de 0 (cero) o cuando este número no tiene raíz cuadrada exacta.
Aplicando este método es
posible resolver cualquier ecuación de segundo grado.
Ejemplo:
Resuelve: 2x2 – 11x = 21
Solución
2x2 – 11x – 21 = 0 , identificamos los
valores: a = 2 ; b = -11 y
c = - 21 , luego reemplazamos en la fórmula general
o cuadrática.
TEOREMA
C) COMPLETANDO CUADRADOS
Para resolver por este
método, el polinomio de segundo grado se transforma hasta convertirlo en un
trinomio cuadrado perfecto, luego se despeja la variable “x”.
6.
ECUACIÓN POLINÓMICA
NÚMERO
DE RAÍCES DE UN POLINOMIO
TEOREMA
FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Todo polinomio P(x) de
grado mayor o igual que 1, tiene por lo
menos una raíz, puede ser real o compleja.
Todo polinomio de grado “n” tiene “n” raíces
Ejemplo:
Resuelve la ecuación
polinómica x3 + 6x2 + 3x -10 = 0
Solución:
MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS
Se utiliza para
resolver ecuaciones polinómicas que
aceptan como factores a binomios de la forma ax + b, basándose en el principio
de la división algebraica, si el polinomio se anula para x = a, entonces un
factor será (x – a).
Ordenamos en
forma decreciente y completamos el polinomio.
Resolvemos como
el método de Ruffini, probamos con los divisores del último término, es
decir 10: ±1; ±2; ±5; ±10. En este caso
cumple con el número -2
Se tiene un
nuevo polinomio de menor grado. Se continúa como en el caso anterior. Pero esta
vez con los divisores de 5: ±1; ±5. Por ser el último coeficiente.
Los resultados:
- 2; 1 y – 5 son los valores que toma “x”
Es decir el
conjunto solución es {- 2; 1; - 5}
RAÍCES
RACIONALES DE UN POLINOMIO
TEOREMA DE
GAUSS
Dado un polinomio de
grado “n” con coeficientes enteros, para calcular las raíces racionales se
considera como “p” a los divisores del término independiente y como “q” a los
divisores del coeficiente del primer término. Entonces las raíces se obtienen
al dividir p entre q.
Ejemplo:
Resuelve la ecuación: 6x2
+ x – 2 = 0
Solución
A los divisores del
último coeficiente “2”
llamaremos “p” (± 1 ; ± 2) y a los divisores del primer coeficiente “6”
llamaremos “q” ( ± 1; ± 2; ± 3; ± 6). Con los divisores de “p” y “q”, se forman las siguientes fracciones:
ACTIVIDAD
DE APRENDIZAJE Nro. 01
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
Resuelve la ecuación:
SISTEMA
DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Resuelve el sistema de ecuaciones:
ECUACIONES
DE SEGUNDO GRADO
Calcula el
discriminante de cada una de las ecuaciones de segundo grado, interpreta que
tipo de raíces tendría cada ecuación y calcula las raíces:
5) 3x2
– 2x + 1 = 0 6) – 5x2 + 3x – 6 = 0
Calcula los valores de “x” en:
Calcula las
raíces de las ecuaciones completando cuadrados:
11) Calcula
el conjunto de valores de m para que la siguiente ecuación no tenga soluciones
reales: (m+5)x2 + 3mx - 4(m-5) = 0
12) Determina el conjunto de valores de k para que la ecuación x2+kx=2 tenga dos raíces, una de las cuales sea – 2.
ECUACIÓN POLINÓMICA
Calcula las
raíces de las ecuaciones:
13) 6x3
+ x2 - 5x - 2=0 14)
20x3 + 24x2 - 11x - 3=0
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